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Bonjour, moi c'est profznic, vous trouverez les cours de troisième sur cette page.

Le but de ce site est uniquement de vous présenter un cours, et de vous donner des exercices écrits.

Si vous cherchez un site d'exercices en ligne, avec corrigés et aide je vous conseille Math En Poche, qui est ce qui se fait de mieux en la matière.

Enfin, si jamais vous avez des remarques, n'hésitez pas...
 
Commençons par le programme : (lien vers les instructions officielles)
 
Activité numérique
Activité géométrique
 
Et Maintenant les cours :

remarque :

Les cours seront toujours construits suivant le même plan : le cours au centre et des commentaires sur les côtés, les commentaires ne sont pas primordiaux, mais ils permettent une meilleure compréhension. Vous trouverez aussi des liens en fin de chapitre vers des exercices du brevet en relation avec le chapitre.

Le cours tient compte du programme précédent l'année 2008, il sera mis à jour le plus vite possible, même si de nombreux chapitres sont identiques.
 
Les nombres et le PGCD
  I - PGCD de deux nombres entiers positifs  
Dans cette partie, les lettres a et b désignent des nombres entiers positifs
  
 

Définition :

Un nombre b, non nul, est un diviseur du nombre a si il existe un nombre entier k tel que :

a = k x b

On dit que a est un multiple de b.
Tout ça pour dire que 3 divise 21 car il existe 7 tel que 21 = 7 x 3
 

Exemples :

- 6 est un diviseur de 42

 - 36 est un multiple de 2, de 3, de 6 .....
 
 

Définition :

Les diviseurs communs aux nombres a et b sont les nombres qui divisent à la fois a et b.

Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres a et b est appellé le PGCD de a et b.

on le note : PGCD ( a ; b )
 
 

Remarque :

Il y a toujours un diviseur commun à deux nombres entiers, car 1 divise tous les nombres.

  
 

Exemples :

- 7 est le PGCD de 14 et 21; on note PGCD ( 14 ; 21 ) = 7
- 2 est un diviseur de 12 et de 20, mais 2 n'est pas le PGCD de 12 et 20, car 4 qui est plus grand que 2, divise aussi 12 et 20.
Pas de panique,ce ne sont que des exemples, la méthode pour trouver un PGCD vient juste après ça.

Première Méthode pour déterminer un PGCD : Lister les diviseurs

Déterminer le PGCD des nombres 21 et 30.  
Liste des diviseurs de 21 : 1) on établit la liste des diviseurs de 21 par ordre
1 ; 3 ; 7 ; 21
 croissant
Liste des diviseurs de 30 : 2) on établit la liste des diviseurs de 30 par ordre
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30
 croissant
Liste des diviseurs communs à 21 et 30 : 3) on écrit la liste des diviseurs communs par ordre
1 ; 3
 croissant

donc PGCD ( 21 ; 30 ) = 3

 4) on choisit le plus grand et on conclut.
Le PGCD de 21 et 30 est 3

remarque : cette méthode ne sera utilisée qu'avec des petit nombres, en effet dès que l'on travaille avec des nombres supérieurs à 50, la recherche des diviseurs est trop laborieuse et on préférera la deuxième méthode : l'algorithme d'Euclide

Remarque : tous les diviseurs vont par paire. pour 21, on a 1 et 21, puis 3 et 7

Pour 30, on a 1 et 30, puis 2 et 15, puis 3 et 10..... ce qui vous permet de limiter la recherche à la calculatrice.
 

Définition :

On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1.
 

Exemple :

15 et 26 sont des nombres premiers entre eux, car leur unique diviseur commun est 1.

  
  II - Recherche du PGCD et Algorithme d'Euclide  
 

Propriété :

Si a et b sont deux nombres entiers non nuls tel que a > b , alors le PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r ), où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Ca c'est la théorie, la démonstration étant complexe en 3ème je ne la présente pas, la méthode elle vient juste après.
 

Exemple :

La division de 234 par 151 donne 1 pour quotient ( dans 234 il y a 1 fois 151 ) et il reste 83.
Donc PGCD ( 234 ; 151 ) = PGCD (151 ; 83 )
 
  intéret : l'avantage de cette propriété est que en continuant le processus de division euclidienne, on va réduire la taille des nombres qui nous interesse  
 
Propriété : Dans l'algorithme d'Euclide, le PGCD est le dernier reste non-nul.
 
 

Deuxième méthode pour déterminer un PGCD : l'algorithme d'Euclide.

Déterminer le PGCD de 1053 et 325
On utilise l'algorithme d'Euclide 1) on cite la méthode utilisée
2) on pose la division euclidienne de 1053 par 325

3) en utilisant

325 : diviseur de la division précédente
78 : reste de la division précédente
On effectue une nouvelle division euclidienne.
4) On recommence le processus précédent avec :
78 : diviseur de l'étape précédente
13 : le reste de l'étape précédente
Dans l'algorithme d'Euclide, le PGCD est le 5) on cite la propriété utilisée
dernier reste non nul.
Donc : PGCD ( 1053 ; 325 ) = 13 6) on conclut.

L'avantage de cette méthode est qu'elle est répétitive, donc facile; et quelle ne fait intervenir que des calculs simples : des divisions euclidiennes.

Dans la plupart des exercices vous aurez ainsi à poser 3 ou 4 divisions euclidiennes succesives (rarement plus) et le PGCD sera le dernier reste non-nul.
  Utilisation de la calculatrice :
Pour une fois, on peut faire un usage intelligent de la calculatrice pour calculer le reste :
Par exemple dans la division de 325 par 78, lorsqu'on tape 325 / 78 la calculatrice donne : 4,166666666666666667
On a donc que 4 est le quotient et le reste c'est 4,166666666666667 - 4 = 0,166666666666667
Pour obtenir le reste de la division il suffit de taper 0,1666666666666667 x 78 on trouve 13
Je sais que la manip n'est pas simple au premier coup d'oeil, mais entrainez-vous avec les autres calculs de la page, une fois maitrisée, cette technique permet de gagner du temps
  III - Application du PGCD  
 

 
 
Définition :
une fraction est dite irréductible lorsque le PGCD (a ; b ) est égal à 1
 
 

Exemples :

- est une fraction irréductible, car PGCD ( 12 ; 5 ) = 1
- n'est pas une fraction irréductible ( c'est à dire que l'on peut la simplifier) car PGCD ( 22 ; 4 ) = 2
 
 
Propriété :

Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur a et son dénominateur b par le PGCD de a et de b.
 
 

Application : pour rendre un fraction irréductible

Ecrire sous forme de fraction irréductible la fraction .

Pour cela on utilise le PGCD trouvé dans l'exemple sur l'algorithme d'Euclide.

On a PGCD ( 1053 ; 325 ) = 13 donc

Vous verrez qu'au brevet cette question est toujours en 2 parties

a) calculer un PGCD

b) simplifier la fraction
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec le PGCD
 
Dans toute la partie géométrie : les longueurs n'ont rien à voir dans les hypothèses, elles permettent certes de faire les calculs, mais elles ne servent à rien pour justifier le théorème.
Triangle rectangle et trigonométrie
Ce chapitre est la suite du chapitre sur le cosinus, vu en 4ème.
Il important de retenir que tout ce qui va être dit ne concerne que les triangles rectangles.
De plus, contrairement à d'autres outils mathématiques, la trigonométrie n'utilise pas de théorèmes
ce qui simplifie nettement la rédaction et donc celle-ci se doit d'être parfaite.
  I - Définition :  
Dans un triangle rectangle,
soit a un angle différent de l'angle droit.
on définit alors deux côtés par rapport à a :

le côté adjacent à a : c'est le côté reliant l'angle a et l'angle droit.

le côté opposé à a : c'est le côté "en face" de l'angle a
remarque : il y a deux possiblités pour a, donc il faut bien réfléchir à l'angle que l'on considère avant de décider quel côté est adjacent....
     
 
Définitions :

Dans un triangle rectangle on a :

- le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient :

- le sinus d'un angle aigu est égal au quotient :

- la tangente d'un angle aigu est égale au quotient :

Ces trois formules sont à connaître par coeur, on va voir au second chapitre leur application.

J'insiste, ces formules ne sont valides QUE DANS UN TRIANGLE RECTANGLE.
     
 
Exemple :

On sait que : ABC est un triangle rectangle en B
donc :
-
 

-

 

-
C'est l'étape la plus importante lors de l'utilisation de la trigonométrie. Il faut être capable de donner le cos, le sin et la tan d'un angle sans se tromper. Je vous conseille de vous exercer sur mathenpoche avant de passer aux calculs.
   
 
Propriété :

Pour tout angle aigu a, on a :
  - 0 < cos a < 1 0 < sin a < 1 ; 0 < tan a
  - - si a diff 90° , alors :
Ces formules ne sont pas très importantes en 3ème, elles le deviennent au lycée. On les démontre très facilement à l'aide des définitions.
     
  II - Applications  
 

a) pour calculer une longueur

  
 
Enoncé : soit ABC un triangle rectangle en B
tel que AB = 4 cm et BAC = 48°
  Calculer la longueur BC au mm près.

Voici un énoncé typique d'un exercice de brevet.
 

Correction :

On sait que le triangle est rectangle en B 1) préciser la nature du triangle

donc tan (BAC) =

2) donner la définition à l'aide de la figure

BC = AB x tan (BAC)

 3) appliquer le produit en croix (voir méthode)
 
BC = 4 x tan (48)
 4) remplacer par les valeurs, taper le calcul à la calculatrice

BC = 4,4

 et donner la valeur approchée
BC vaut environ 4,4 cm 5) conclure

En fait la première étape ici est de déterminer quel outil on va utiliser (cos, sin ou tan) pour cela c'est la figure et la question qui doivent vous aider.

Ici on connait le côté adjacent et on cherche le côté opposé...... donc c'est la tangente.
     
 
b) pour calculer un angle
  
 
Enoncé : soit DEF un triangle rectangle en D
tel que DE = 5 cm et EF = 8 cm.
 
Calculer la mesure de l'angle EFD au degrès près.
 
     
 

Correction :

on sait que le triangle DEF est rectangle en D 1) préciser la nature du triangle
 
 
donc sin (EFD) =
2) donner la définition à l'aide de la figure et remplacer par les valeurs de l'énoncé
 
à la calculatrice on a EFD = 39° 3) utiliser votre calculatrice (voir méthode)
  et donner la valeur approchée
Ici on connait le côté opposé et l'hypoténuse, donc c'est le sinus.
     
  Les méthodes :  
 
Le produit en croix :
Le produit en croix s'utilise lorsque l'on a une égalité entre deux fractions :
On peut transformer cette égalité en utilisant le produit en croix, pour cela on trace une croix en partant du nombre en dessous (ou au dessus) de l'inconnue.
On obtient le résultat suivant :
On arrive alors a : AB =
Pour ce chapitre il faut penser à mettre
     
 
La calculatrice et la trigonométrie :
Lorsqu'on cherche un angle à l'aide de la trigonométrie, on est amené à utiliser la calculatrice.
Certains manuels vous parle alors de invcos (pour le cos), de invsin (pour le sin) et de invtan (pour la tan),
on peut aussi trouver les notations .
Comme les élèves de 3ème ne savent pas ce que ces notations veulent dire vraiment. Autant être honnête et dire comme dans l'exemple : " à la calculatrice ".
 
Ceci étant mis au clair, pour utiliser la calculatrice, il suffit alors de taper pour notre exemple :
La calculatrice vous donne le résulat, ici 39°

Suivant le modèle de calculatrice, ce n'est pas la même touche, donc à vous de trouver ....

Vérifier aussi que vous êtes bien en degrés ....
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec la trigonométrie
 
Calcul littéral et identités remarquables
  I - Rappel sur les puissances
 
Dans ce chapitre, m et n désignent des nombres entiers relatifs, a et b des nombres relatifs.
 
  Exemples :
  - 3 x 3 = 3= 3 - (4 x 3) = 4 x 3
  = 5 = 5 -
  (2)= 2 = 2
  Remarque : dans le cas où a = 10, on retrouve les règles de calcul sur les puissances de 10.
  Méthode : pour calculer et mettre en écriture scientifique
 
Calculer l'expression :  
A = 1) on regroupe les nombres entre aux et les puissances de10 entres elles
A = 2) on effectue les calculs sur les nombres
A = 15 x 10 = 15 x 10 3) on applique les règles de calcul sur les puissance de 10
A = 1,5 x 10 4) on met si necessaire en écriture scientifique. (voir méthode)
Voilà le genre de question posée régulièrement le jour du brevet.
   
  II - Développer une expression littéral
 
Définition :
Développer une expression littérale, c'est l'écrire comme une somme algébrique de termes.
C'est à dire que dans le résultat, il ne doit y avoir que des additions et des soustractions.
 
Propriété : soit a, b, c, d et k des nombres, alors on a :
k ( a + b ) = ka + kb
( a + b ) k = ka + kb

( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Ces formules ont déjà été vu en 5ème et en 4ème, souvent illustrées par des flèches.....
  Exemple :
( 2 + y ) ( y + 6 ) = 2y + 12 + y+ 6y = y+ 8y + 12
 
 
  Méthode : pour développer et réduire une expression littérale
 
Développer l'expression B = ( y + 5 ) ( 7 - 4y )  
B = y x 7 - y x 4y + 5 x 7 - 5 x 4y 1) on développe l'expression en faisant attention à la règle des signes....
B = 7y - 4y+ 35 - 20y 2) on simplifie chaque terme en effectuant les multiplications (opération prioritaire)
B = - 4y- 13y + 35 3) on réduit l'expression
Attention à la règle des signes...
   
  III - Les identités remarquables
On va voir 3 formules, les signes seront intégrés dans ces formules et donc une fois la bonne formule trouvée, plus
besoin de penser aux signes.
 

a) développer ( a + b )
 
propriété : ( a + b ) = a + 2ab + b
   
 

Exemple : développer l'expression A = ( 2y + 3 )

A = ( 2y + 3 ) 1) on identifie les nombres : a = 2y et b = 3
A = ( 2y ) + 2 x 2y x 3 + (3) 2) on utilise la formule, attention aux parenthèses pour les carrés. Elles sont necessaires, car c'est "tout" 2y qui est au carré
A = 4y + 12y + 9 3) on calcul chacun des termes.
Mettez les parenthèses au début, ça vous aidera, par la suite vous pourrez les enlever...
   
 
b) développer ( a - b )
 
propriété : ( a - b ) = a - 2ab + b
attention à la place du signe -
 
 

Exemple : développer l'expression A = ( 4y - 5)

A = ( 4y - 5 ) 1) on identifie les nombres : a = 4y et b = 5
A = ( 4y ) - 2 x 4y x 5+ (5) 2) on utilise la formule, attention aux parenthèses pour les carrés. Elles sont necessaires, car c'est "tout" 4y qui est au carré
A = 16y - 40y + 25 3) on calcul chacun des termes.
   
 

c) développer ( a + b )( a - b )
 
propriété : ( a + b )( a - b ) = a - b
L'ordre des deux parenthèses n'est pas important, par contre l'ordre de a et b est important..
   
 

Exemple : développer l'expression A = ( 5y - 7 )( 5y + 7 )

A = ( 5y - 7 )( 5y + 7 ) 1) on identifie les nombres : a = 5y et b = 7
A = ( 5y ) - (7) 2) on utilise la formule, attention aux parenthèses pour les carrés. Elles sont necessaires, car c'est "tout" 5y qui est au carré
A = 25y - 49 3) on calcul chacun des termes.
   
  Remarque : ces trois formules peuvent s'utiliser dans les deux sens, c'est à dire que si ( a + b )( a - b ) = a - b,
  on a aussi a - b = ( a + b )( a - b ), ça paraît évident mais peu d'élèves le remarque... et ça aura son importance par la suite.
   
  IV - Factoriser une expression
 

a) grace aux propriétés de 5ème
 
Définition :
Factoriser une expression littérale, c'est l'écrire comme un produit de facteurs.
Donc factoriser, c'est le contraire de développer.
  Exemple : reprenons l'exemple suivant : ( 2 + y ) ( y + 6 ) = 2y + 12 + y+ 6y = y+ 8y + 12
 

Si on vous demande de factoriser y+ 8y + 12, le résultat est : ( 2 + y ) ( y + 6 )
 

Voici maintenant les méthodes qui permettent de factoriser des expressions littérales.
     
 
Propriété :
ka + kb = k( a + b )

et

ka - kb = k( a - b )
Ecrit à l'envers, on retrouve une propriété de 5ème
     
Exemples : les exemples suivants sont de difficultés croissantes, le dernier est ce qui vous est demandé au brevet.  
 
A = 3a + 3b B = 5x - 15 C = 5 ( 2a + 3 ) + x ( 2a + 3 )
A = 3 ( a + b ) B = 5x - 3 x 5 C = ( 2a + 3 )(5 + x)
B = 5 ( x - 3)
D = ( x + 7 ) ( 3 + 4x ) + ( x + 7 ) ( 5 - x )
 
D = ( x + 7 ) [ ( 3 + 4x ) + ( 5 - x ) ]

Les crochets et les parenthèses

 servent à ne pas faire d'erreur
D = ( x + 7 ) ( 3 + 4x + 5 - x ) de signes, ils sont donc primord iales
D = ( x + 7 ) ( 3x + 8 )    
     
E = ( 4 - 3y ) - ( 4 - 3y ) ( 5 - 2y ) rappels :
E = ( 4 - 3y ) [ ( 4 - 3y ) - ( 5 - 2y ) ]

( 4 - 3y) = ( 4 - 3y) (4 - 3y )
E = ( 4 - 3y ) ( 4 - 3y - 5 + 2y ) un - devant une parenthèse : on change tous les signes
E = ( 4 - 3y ) ( -y - 1 )    
Dans ce genre d'exercices, le plus important est de trouver le facteur commun, il est en rouge pour ces exemples.
     
 

b) grace aux identités remarquables

  
 
Remarque : lorsque l'on ne trouve pas de facteurs communs, c'est sans doute qu'il faut utiliser les identités remarquables pour factoriser.
  
 
Propriété :
Pour factoriser une expression littérale, on peut utiliser l'une des identités remarquables.
 
  exemples : pour factoriser sous la forme ....  
 
( a + b )
( a - b )
( a + b ) ( a - b )
A = x + 14x + 49
1) on ne repère aucun facteur commun, il faudra donc utiliser une identité remarquable
A = (x) + 2 x x x 7 + (7)
2) on décompose pour faire apparaitre une identité remarquable
A = ( x + 7 )
3) on conclut
B = 4x - 20x + 25
1) on ne repère aucun facteur commun, il faudra donc utiliser une identité remarquable
B = (2x) - 2 x 2x x 5 + (5)
2) on décompose pour faire apparaitre une identité remarquable
C = ( 2x - 5 )
3) on conclut
C = 36x - 64
1) on ne repère aucun facteur commun, il faudra donc utiliser une identité remarquable
C = (6x) - (8)
2) on décompose pour faire apparaitre une identité remarquable
C = ( 6x - 8 ) ( 6x + 8 )
3) on conclut
 
     
 
Exemple : factoriser l'expression suivante : D = ( 3x - 21 ) - ( 4x + 5 )
De tout les exemples, c'est celui-là que les élèves apprécient en générale le moins. Pourtant la seule difficulté est de ne pas se tromper dans les signes.
 
D = ( 3x - 21 ) - ( 4x + 5 ) 1) on ne repère aucun facteur commun, il faudra donc utiliser une identité remarquable (la 3ème)
D = [ ( 3x - 21) - ( 4x + 5 ) ] [ ( 3x - 21 ) + ( 4x + 5 ) ] 2) on applique l'identité remarquable
D = ( 3x - 21 - 4x - 5 ) ( 3x - 21 + 4x + 5) 3) on effectue les calculs à l'intérieur des parenthèses
D = ( -x - 26 ) ( 7x - 16 ) 4) on conclut
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec le calcul littérale
 
Le théorème de Thalès
 
I - Le théorème de Thalès
 

a) configuration de Thalès
 
Jusqu'en troisième le choix d'un théorème lorsqu'on est en exercice est assez facile, en effet la plupart du temps, la figure "appelle" le théorème adéquat, on parle de configuration, voyons les configurations de Thalès :
 

avec (MN) // (BC)
 
 

b) le théorème de Thalès
 
on sait que :

- B appartient à (AM)
- C appartient à (AN)
- (BC) parallèle à (MN)
 

alors : d'après le théorème de Thalès on a :
La rédaction de ce théorème étant très simple, il n'est toléré aucune erreur dans les données et dans le nom "Thalès".
     
 
méthode : pour calculer une longueur
 
énoncé :
On donne : (BC) // (MN); AB = 7,8 cm ; AM = 3 cm
MN = 7 cm et AC = 13 cm.
Calculer la longueur BC.
Encore une question classique du brevet...
     
 
correction : on sait que : 1) on cite TOUTES les données NECESSAIRE à l'utilisation du théorème.
  - M appartient à (AB)
  - N appartient à (AC)
  - (MN) // (BC)
   
alors d'après le théorème de Thalès on a :
2) on cite le théorème et on l'applique.
 
3) on remplace par les valeurs.
 
4) on ne retient que ce qui nous interesse, et on applique le produit en croix.(voir méthode)
  BC = = 18,2 cm 5) on finit les calculs.
Rappel : les longueurs n'ont rien à voir dans les hypothèses, elles permettent certes de faire les calculs, mais elles ne servent à rien pour justifier le théorème.
 
II - La réciproque du théorème de Thalès
     
 
On sait que :
- les point A, M ,B et A, N, C sont respectivement

alignés dans le même ordre.
- on a :
 
alors d'après la réciproque du théorème de Thalès

les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
 
 
     
 
méthode : pour démontrer que deux droites sont parallèles
 
énoncé :
On donne : AB = 3,4 cm ; AC = 4,2 cm
AM = 9,18 cm et AN = 11,34 cm.
Démontrer que (BC) et (MN) sont parallèles
Toujours une question classique du brevet...
     
 
correction : on sait que : 1) on cite TOUTES les données NECESSAIRE à l'utilisation du théorème.
  - les point A, M ,B et A, N, C sont respectivement
  alignés dans le même ordre.
  - On a :
 
2) on fait les calculs avant d'écrire l'égalité, car dans certains exercices l'égalité n'est pas vérifiée et donc les droites ne sont pas parallèles.
 
 
Alors d'après la réciproque du théorème de Thalès :
 3) on cite le théorème correctement
 
les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
 4) on conclut
   
   
retour au programme
Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec le théorème de Thalès.
 
Les racines carrées
  I - Racine carrée d'un nombre POSITIF  
 
Définition :
Soit a un nombre POSITIF.
La racine carré de a est le seul nombre positif dont le carré est égal à a.
La racine carré de a est noté :
Le mot positif est très important. On verra pourquoi juste après.
     
 
explication : ca veut dire que le nombre "a" peut s'obtenir en mettant un autre nombre au carré, et comme un nombre au carré est toujours positif, voilà pourquoi "a" doit absolument être positif, sinon on ne peut pas trouver sa racine carrée.
  
     
 
Exemple :
  La racine carrée de 0 est 0 car 0 = 0 et 0 est positif. On note : = 0
  La racine carrée de 1 est 1 car 1 = 1 et 1 est positif.
  La racine carrée de 16 est 4 car 4 = 16 et 4 est positif. On la note : = 4
  La racine carrée de 49 est 7 car 7 = 49 et 7 est positif.
Ceci est connu depuis la quatrième et le cours sur le théorème de Pythagore
     
 

remarque : une racine carrée n'est pas toujours un nombre exact, dans ce cas là on écrit ce nombre grâce à la racine carrée

la racine carrée de 33 est environ : 5,7445626...... donc la valeur exacte de la racine carrée de 33 est :

 
     
 
Propriété :            
Si a est un nombre positif alors on a :   () = a   et = a .
Cette propriété est très importante pour les exercices.
     
 
Exemple : () = 9 ; = 13 ;  
()= 7 ; = 21.  
 
 

Remarque : Si a est un nombre NEGATIF, alors n'existe pas et () est différent de a.

= 5 et 5 est différent de -5.

  
     
  Methode : Pour calculer sur des nombres écrits avec racines carrées  
 
Développer et réduire l'expression suivante : A = ( 5 + 2) ( - 4 )
A = ( 5 + 2) ( - 4 ) 1) L'expression A est le produit de deux facteurs....
A = 5 x - 5 x 4 + 2x - 2x 4 2) On développe en utilisant la méthode de 4ème
A = 5 - 20 + 2()- 8 3) On effectue les produits (à cause des priorités opératoires)
A = 5 - 20 + 2 x 7 - 8 4) on applique la propriété sur les racines carrées
A = 5- 8 - 20 + 14  
A = -3 - 6 5) on donne la valeur exacte du résultat
Les racines carrées vont donc se comporter comme des lettres pour le développement avec des simplifications pour les calculs.
     
  II - Règle de calcul avec les racines carrées  
 

Nous allons aborder dans cette partie la manière de multiplier et de diviser deux racines carrées, on verra aussi qu'il n'y a pas de règles pour additionner ou soustraire deux racines carrées......

  
     
 

a) produit de deux racines carrées

  
 
Propriété :
Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit.
c'est à dire : si a et b sont deux nombres POSITIFS alors on a :
x =
 
     
  Exemples :  
 
x = = x = = 6
 
     
  Méthode : Pour calculer une somme de nombres écrits avec des racines carrées  
 
Calculer l'expression A = + 3 - 11, exprimer le résultat sous la forme a , où a est un nombre entier relatif et un nombre entier le plus petit possible.
A = + 3 - 11 1) on remarque que 5 est le plus petit nombre et qu'on ne peut pas le décomposer, donc le b ce sera sans doute 5, de là on voit que 45 = 9 x 5 et 20 = 4 x 5
A = + 3 - 11 2) on écrit toutes les racines en fonction de 5
A = x + 3 x x - 11 3) on utilise la propriété précédente
A = 3 + 6 - 11 4) on effectue les calculs
A = -2 5) on conclut
Dans ce genre d'exercice, le jour du brevet le b est toujours donné : soit dans l'énoncé, soit dans l'expression (avec un nombre que l'on ne peut décomposer)
     
 

b) Quotient de racines carrées

  
 
Propriété :
Le quotient de deux racines carrées est égal à la racine carrée du quotient.
c'est à dire : si a et b sont deux nombres POSITIFS alors on a :
 
     
  Exemple :  
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec les racines carrées.
 
Translations et vecteurs
 
Remarque : ce cours changera à la rentrée 2008
 
     
  Rappel  
 
Toutes les transformations utilisées aux collèges peuvent être envisagé comme des déplacements de l'objet :
- la symétrie axiale est un retournement de la figure par rapport à la droite.
- la symétrie centrale est un demi-tour de la figure autour du point.
- la translation est un glissement rectiligne de la figure.
 
   
 
Avec la figure ci-dessous, en commençant par déplacer le bouton sous "1ère transformation",
puis en déplaçant le vélo (avec le bouton "à déplacer" au niveau de la roue arrière) trouvez de quelle transformation il s'agit ;
enfin en déplaçant le deuxième bouton sous "1ère transformation", trouvez les propriétés de a transformation
recommencez avec les autres transformations
 
     
  I - Translation et vecteur  
 
Définition :  
Soient les points A, B, C et leurs images respectives A', B', et C' par une translation T .
Les couples de points (A ; A'), (B ; B') et (C ; C') sont des représentants d'un même objet appelé "vecteur" qui caractérise la translation T .
En notant ce vecteur , on peut écrire :
- un vecteur est déterminé par : - sa direction (donnée par la droite portant le vecteur)
  - son sens (donné par la demi-droite)
  - sa longueur (donnée par le segment).
 
- le vecteur nul, noté , est tel que l'origine et l'extrémité du vecteur sont confondues.
En considérant un vecteur comme étant le représentant d'un glissement, la notion de direction, de sens et de longueur paraissent naturelles et suffisent à définir ce glissement.
  Exemple : pour le vecteur :
Si les notions de sens et de longueur paraissent évidentes, celle de direction peut paraitre plus compliquée, pour la comprendre il suffit de considérer que le vecteur donne une "direction" à suivre sur une carte....
  - la direction du vecteur est celle de la droite (AB)
  - le sens du vecteur est celui de mla demi-droite [AB)
  - la longueur du vecteur est celle du segment [AB]
  - on a =
     
  II - égalité de deux vecteurs  
 
Définition :  
Dire que deux vecteurs et sont égaux signifie que :
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles (ou confondues)
- Les demi-droites [AB) et [CD) ont le même sens.
- Les segments [AB] et [CD] ont la même longueur.
Pour démontrer ce résultat, il suffit de considérer les parallélogrammes vus avec les translations...
     
 
Propriété :  
- Si on a l'égalité vectorielle = , alors ABDC est un parallélogramme.
- Si ABDC est un parallélogramme, alors on a les égalités vectorielles suivantes : = et = .
- Si on a l'égalité vectorielle = , alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
- Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors on a les égalités vectorielles suivantes : = et = .

Les deux premières propriétés sont extrémement utilisées le jour du brevet, elles font intervenir le lien entre vecteur, translation et parallèlogramme.

De plus le rédaction se limite à ce qui est écrit ici.
     
  III - composée de deux translations et somme vectorielle  
  Remarque : une composée de translations, c'est simplement faire deux translations succéssivement...  
 
Définition et propriété :  
 
- Soient deux translations de vecteurs respectifs et .
Appliquer la composée de la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur équivaut à appliquer la translation de vecteur w tel que = +
 
- Relation de Chasles : + =
La première partie sert à tracer des constructions, la deuxième sert à faire des calculs avec des vecteurs (surtout à partir de la seconde)
     
  Méthode : Pour construire un représentant de la somme de deux vecteurs  
 
Ici on travaille sans quadrillage, avec un quadrillage il suffit de compter les carreaux...
     
  IV - Composée de deux symétrie centrales  
 
Propriété :  
Appliquer la composée de la symétrie de centre I
suivie de la symétrie decentre J revient à appliquer la
translation de vecteur 2 = +

La démonstration se fait très facilement avec les théorèmes des milieux

Cette propriété s'utilise telle quelle, c'est juste du cours à connaître par coeur.
 
Exemple :
Dans la figure ci-dessus, la figure F a pour image la figure G par la symétrie de centre I et la figure G a pour image la figure H par la symétrie de centre J.
La figure F a donc pour image la figure H par la translation de vecteur = 2
 
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec les vecteurs.
 
Inéquations et équations produit nul
 

La leçon sur les équations posent de nombreux problèmes à de nombreux élèves, pour éviter le plus de problèmes, la méthode que j'essaie de faire aplliquer à mes élèves est la suivante :

Pour savoir quel terme déplacer : "utilisez les priorités opératoires à l'envers" c'est à dire repérez le calculs à faire en dernier et c'est celui qu'il faudra déplacer en premier.

Pour déplacer un terme, il suffit "d'inverser l'opération", ainsi une addition devient une soustraction, une multiplication devient une division, ainsi de suite ...

Ces règles resteront les mêmes pour les inéquations et les équations produit nul.

  
  I - Résoudre une équation à une inconnue  
 
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on regroupe les termes contenant l'inconnue dans le membre de gauche et les autres nombres dans le membre de droite.
 
 
Exemple :
Résoudre l'équation 3x + 7 = 5x + 9  
3x + 7 = 5x + 9
 1) on repère le termes en x et les autres termes
3x - 5x = 9 - 7
2) on regroupe les termes en x et les autres termes, pour cela on déplace les termes en inversant l'opération.
-2x = 2
 3) on fait les calculs
x =
4) pour calculer x, il faut déplacer x, attention l'opération qui nous intéresse est -2 x x ce qui devient donc une division...
x = -1
 5) on simplifie l'écriture du résultat
L'équation a pour solution -1 6) on conclut
Pensez que le terme que l'on déplace arrive toujours après tout le reste....
     
  II - Résoudre un problème  
 
Pour résoudre un problème à l'aide d'une mise en équation, il faut respecter les étapes suivantes : 1) Choix de l'inconnue Il suffit pour ça de lire la question, l'inconnue est ce que l'on cherche.
2) Mise en équation Il faut pour ça lire et traduire l'énoncé, pour simplifier la tache vous pouvez considérer que l'inconnue est un chiffre
3) Résolution de l'équation
4) Interprétation du résultat Posez vous la question : est-ce que ce résultat veut dire quelque chose ?
5) Conclusion  
 
     
 
Exemple :
Oana a acheté quatre BDs au même prix. Elle a payé avec deux billets, l'un de cinq euros et l'autre de vingt euros. Le marchand lui a rendu 1 euro.
Quel est le prix d'une BD ?  
Soit x le prix d'une BD 1) Choix de l'inconnue
le prix de 4 BDs est 4x
 
Elle paie 24 euros donc : 4x = 24
 
2) Mise en équation
4x = 24
x =
x = 6
3) Résolution de l'équation
Une BD peut couter 6 euros donc mon calcul semble etre correct 4) Interprétation du résultat (à faire de tête)

Oana a payé 6 € par BD.

5) Conclusion
L'exemple choisi est volontairement simple, ceci permet de bien assimiler la méthode, à vous maintenant de l'appliquer en exercices. Cette méthode fonctionne jusqu'après le BAC, donc autant insister tout de suite sur son importance...
     
  III - Equations produit nul  
 
Propriété :
Si un produit de facteur est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul :
Si A x B = 0, alors A = 0 ou B = 0
 
 
Méthode : Pour résoudre un équation une équation produit nul
 
 
Résoudre l'équation (2x + 6)(x + 2) = 0  
(2x + 6)(x + 2) = 0
 1) on repère une équations produit nul avec A = 2x + 6 et B = x + 2
2x + 6 = 0
2x = -6
x = -3
ou
 x + 2 = 0
x = -2
2) on résout les deux équations
Les solutions de l'équations sont -3 et -2 3) on conclut en donnant les deux solutions
Une fois la méthode comprise, les résolutions sont généralement très simples.
     
  IV - équation x = a  
  A partir de ce paragraphe, on parlera de nombre strictement positif (x > 0) ou de nombre positif (x 0), la différence se situe au niveau du zéro, en effet un nombre strictement positif ne peut pas être nul, alors qu'un nombre positif peut être nul.
 
Propriété :
Si a est un nombre positif
Alors l'équation x = a admet deux solutions : - et
Les explications ont déjà été données dans le cours sur les racines carrées, il suffit de connaitre ce résulat par coeur.
  Rappel : Si a est un nombre strictement négatif, la racine carrée de a n'existe pas donc l'équation n'a pas de solution  
     
 
Exemple :
Résoudre l'équation x = 36  
x = 36
x = -
 ou x =
x = -6
x = 6
1) on vérifie que le membre de droite est positif, puis on applique la propriété
Les solutions de cette équation sont -6 et 6 2) on conclut
 
     
  V - inégalités et opérations  
 
Rappel :
- on peut additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans changer le sens de cette inégalité :

 
 
Propriété :
a, b et c sont trois nombres relatifs.

- Si a est stritement positif, les nombres a x b et a x c sont rangés dans le même ordre que les nombres b et c :
si a > 0 et b < c, alors a x b < a x c
- Si a est strictement négatif, les nombres a x b et a x c sont rangés dans l'ordre inverse des nombres b et c :
si a < 0 et b < c, alors a x b > a x c
S'il vous plait, soyez attentif à ce que vous faites, lorsque vous aurez à résoudre des inéquations : si vous ne faites pas attention aux signes lors des multiplications et des divisions vous vous planterez tout le temps.
     
  Méthode : pour résoudre une inéquation  
 
Résoudre l'inéquation -3x + 11 < 5  
-3x + 11 < 5
 1) on repère le termes en x et les autres termes
-3x < 5 - 11
 2) on regroupe les termes en x et les autres termes, pour cela on déplace les termes en inversant l'opération.
-3x < -6
 3) on fait les calculs
x > 4) pour avoir x, on doit diviser par -3, donc il faut CHANGER le sens de l'inégalité
x > 2
  
Les solutions sont les nombres qui sont strictement supérieurs à 2 5) on conclut en faisant un dessin explicatif.
Résoudre une inéquation se fait donc de la même manière que résoudre une équation, mais avec la contrainte supplémentaire de faire attention aux signes lors des multiplications et divisions.
     
  Pour savoir comment faire ce dessin, il suffit de placer le 0 et la valeur trouvée, puis de tracer dans le bon sens.
Pour placer les crochets, il faut savoir si on prend (ou non) la valeur limite, ici x > 2 donc 2 n'est pas accepté.
Si on avait eu x 2, alors le crochet aurait été dans le même sens que la flèche.

  
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec les inéquations.
 
Angles, rotations et polygônes réguliers
  I - Angle inscrit et angle au centre  
 
Définition :  
Dans un cercle :
- un angle intercepte un arc de cercle si ses côtés sont sécants avec le cercle aux points A et B.
- un angle est inscrit si son sommet est un point du cercle et si ses côtés sont sécants avec le cercle.
- un angle est au centre si son sommet est le centre du cercle.
 
     
 
Propriété :
- dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent un même arc,
alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit.
- dans un cercle, si deux angles inscrit interceptent le même arc
alors ils ont la même mesure.
 
     
 
Exemple :
Dans le cercle C
- l'angle au centre et l'angle interceptent le même arc ,
donc on a : = 2 x ;
- Les angles inscrits et interceptent le même arc ,
donc on a : = .
Cet exemple est juste là pour illustrer la propriété, la rédaction demandée au brevet est donnée dans l'exemple suivant ...
     
 
Methode : Pour déterminer un angle
 
 
Le point O est lecentre du cercle C.
Sachant que = 12°, calculer la mesure de l'angle 		 
On sait que : dans le cercle C, l'angle inscrit et l'angle au centre interceptent le même arc 1) on repère les angles
or : dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent un même arc,
alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit		 2) on écrit la propriété utilisée
donc : on a = 2 x = 2 x 12 = 24° 3) on fait les calculs
l'angle = 24° 4) on conclut
Cet exercice fait partie des classiques du brevet, pourtant peu d'élèves arrivent à le réaliser pour la simple raison qu'isl ne "voient" pas le lien entre le dessin et la propriété, donc concentrez-vous sur la figure ...
     
  II - Rotation  
 
Soient deux figures F et G superposables et un point
O. on dit que la figure F a pour image la figure G par
une rotation de centre O si on peut passer de la figure
F a la figure G en tournant autour du point O.
Le sens d'une rotation est :
- direct ( ou trigonométrique) si il est contraire à celui de la marche des aiguilles d'une montre
- indirect si il suit celui de la marche des aiguilles d'une montre
Autant vous habituer tout de suite au sens dit trigonométrique, car il devient la norme dès le lycée ...
  Exemple :  
 

Dans la figure ci-dessus, la figure G est l'image de la figure F par la rotation de centre O, d'angle a = 22° dans le sens trigonométrique.

 
     
 
Définition :  
Soit un point O et un angle a.
L'image d'un point M par la rotation de centre O, d'angle a
dans le sens direct est le point M' tel que :
- OM = OM'

 
 

 

 - MOM' = a
- on passe du point M au point M' en tournant autour du point O dans le sens trigonométrique.
 
     
 
Propriétés :
- Le centre de la rotation est invariant : il est sa propre image.
- Conservation de l'alignement : l'image d'une droite est une droite.
- Conservation des longueurs : l'image d'un segment est un segment de même longueur.
- Conservation des angles : l'image d'un angle est un angle de même mesure.
- L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
- Une figure et son image par une rotation ont le même périmètre et la même aire.
La plupart des exercices de brevet sur les rotations sont des exercices de tracé à l'aide de quadrillage, ces propriétés sont nettement plus utilisées à partir du lycée ....
     
  III - polygônes réguliers  
 
Définition :

On dit qu'un polygône est régulier lorsque les longueurs de ses côtés sont égales et que

les mesures de sesangles sont égales.
 
     
  Exemples :  
 
 
     
 
Propriétés d'un polygone régulier :
- Si un polygone est régulier, alors il est inscriptible dans un cercle. Le centre du cercle circonscrit à un
polygone régulier est appelé le centre du polygone
- Si un polygone régulier de centre O a un nombre n de côtés, alors le polygone est invariant par une
rotation de centre O et d'angle .
 
Propriété pour identifier un polygone régulier :
Si un polygone est inscriptible dans un cercle et si les longueurs de ses côtés sont égales,
Alors ce polygone est régulier.
Au brevet il est régulièrement demandé de tracé un polygone régulier, la seconde propriété permet de justifier cette construction.
     
  Méthode : pour construire un régulier  
 
Construire un octogone régulier connaissant son centre O et son sommet A.
1) Tracer le cercle C de centre O et de rayon OA.Placer un point B sur C tel que :
  = = 45° .
2) Placer les points C, D, E, F, G et H du cercle C tels que :
AB = BC = CD = ... = GH.
3) Tracer les cordes [AB], [BC], ..., [HA] : on obtient l'octogone cherché et son cercle circonscrit.
 
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec les angles.
 
Fonctions linéaires
  Ce chapitre provoque chaque année des cauchemards chez une bonne partie des élèves, malheureusement ces difficultés ne viennent que d'un seul facteur : ils considèrent qu'en math il n'y a pas de cours à apprendre : c'est faux et ce chapitre en est la preuve, il n'a rien de compliqué si on apprend le vocabulaire, donc .....  
     
  I - fonctions linéaires  
  Préambule : Lorsque l'on demande à un élève de tracer l'image d'un point par une symétrie axiale, dès la classe de sixième, il sait quoi faire. En troisième, on élargit cette notion de transformation en l'appliquant à des nombres, on ne parlera alors plus de transformation mais de fonction.

La plupart des élèves ont déjà travaillé avec des fonctions mais sans le savoir : les exercices qui commencent par prenez un nombre, ajouter lui 2, puis multipliez le résultat par 3 sont en fait des exercices sur les fonctions : dans cette exemple, la fonction est : ajoutez 2 et multipliez par 3, on verra comment écrire cette fonction dans la suite du cours.
  
     
 
Définition :
Soit a un nombre fixé. On appelle fonction linéaire de coefficient a le processus opératoire qui au nombre x
associe le produit ax.

ces trois définitions, forment l'essentiel du cours, le reste n'est qu'une application.

les exercices seront de trois types :
- soit trouver f(x) (avec x connu)
- soit trouver x (avec f(x) connu)
- soit trouver a (avec x et f(x) connu)

dans ces trois cas, il suffira d'écrire que
f(x) = ax
et de remplacer par les valeurs connues.
   
  Donc une fonction linéaire de coefficient a, c'est juste : prenez un nombre (noté x) et multipliez le par a, on obtient ax.
Ce qu'il faut retenir, c'est que si vous connaissez a, vous connaissez la fonction linéaire.
   
 
Notation :
Une fonction linéaire de coefficient a nommée f se note f : x ax (on lit : la fonction f qui a x associe ax)
   
  Exemple : La fonction linéaire f de coefficient 2 se note f : x 2x.
   
 
Définition :
Le nombre f (x) (se lit "f de x") est appelé l'image de x par la fonction f.
   
  Tous les termes de la dernière définition sont importants, il faut absolument comprendre que la fonction f transforme le nombre en un autre nombre, donc f (x) est un nombre, c'est le résultat de la transformation de x par la fonction f.
     
  Méthode : pour déterminer l'image d'un nombre par une fonction donnée  
 
Déterminer l'image de -7 par la fonction g : x -3x
g (x) = -3x 1) on écrit l'image de x par g
g (-7) = -3 x (-7) 2) on remplace x par -7
g (-7) = 21 3) on effectue le calcul et on conclut
l'image de -7 par la fonction g est 21  
La phase 1) est la plus importante, c'est le point de départ de tout exercice sur les fonctions
     
  Méthode : pour déterminer un nombre a partir de son image par une fonction  
 
Déterminer le nombre qui a pour image 6 par la fonction h : x 2x
h (x) = 2x 1) on écrit l'image de x par h
h (x) = 6 2) on remplace h (x) par 6
2x = 6 3) on effectue le calcul et on conclut
x = 3, le nombre qui a pour image 6 par la fonction h est 3
Pour cette exercice il faut faire attention à la formulation, pour ne pas confondre avec le 1er exercice.
     
  Méthode : pour déterminer une fonction linéaire à partir de l'image d'un nombre  
 
Déterminer la fonction linéaire g qui au nombre 5 associe le nombre -1,5.
Préciser son coefficient.
g (x) = ax 1) on écrit l'image de x par g
g (5) = -1,5 2) on écrit l'image de 5 par sa vraie valeur
g (5) = a x 5 3) on remplace x par 5
a x 5 = -1,5 4) on résout l'équation d'inconnue a.
a = -0,3
La fonction linéaire g : x -0,3x
son coéfficient est -0,3
 5) on conclut
Déterminer un fonction linéaire, c'est juste trouver son coefficient a.
     
  II - Application  
 

a) proportionnalité et fonction linéaire

  
 
Propriété :

Une situation de proportionnalité peut s'écrire comme une fonction linéaire dont le coefficient

est le coefficient de proportionnalité.
 
 
Exemple :
Tableau de proportionnalité : Fonction linéaire associée :
0
1
2
4
0
3,5
7
14
f : x 3,5x
 
     
 

b) pourcentages et fonctions linéaires

  
 
Pour prendre t % d'une quantité, on peut utiliser la fonction linéaire x x.
 
  Exemple :  
  Pour prendre 15% de 340, on cherche l'image de 340 par la fonction linéaire f : x x
c'est à dire : f (340) = x 340 = 51. Donc 15 % de 340 est 51
Cet exercice et ceux qui suivent sont totalement inutiles, mais ils sont demandés au brevet donc...
   
 
Pour appliquer une diminution de t % à une quantité x, on peut utiliser la fonction linéaire : x x .
  Exemple :
  Pour effectuer une diminution de 20 % sur 340, on cherche l'image de 340 par la fonction linéaire g : x x, c'est à dire g : x x

g (340) = x 340 = 272 ; donc 340 diminué de 20 % est égal à 272.
     
 
Pour appliquer une augmentation de t % à une quantité x, on peut utiliser la fonction linéaire : x x
 
     
  III - Représentation graphique d'une fonction linéaire  
 

Après avoir étudié une fonction linéaire, on cherche à visualiser plus facilement comment cette fonction transforme les nombres.
Pour cela, on va considérer le tableau qui aurait des valeurs quelconque de x en 1ère ligne et les valeurs associés f(x) en 2nde ligne.
Le cours de quatrième nous dit que si on trace le graphique associé à ces valeurs on obtient une droite, voyons ce que l'on peut en dire :

  
 
Propriété et définition :
1° Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est la droite qui passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées (1 ; a).

2° On dit que cette droite a pour équation y = ax.

3° Le nombre a est appelé le coefficient directeur de cette droite.
 
 
Chaque partie est importante, en effet :
- la 1ère vous permettra de tracer très facilement n'importe quelle fonction (vu que l'on vous donne les coordonées de deux points pour tracer une droite)
- la 2nde est la plus importante pour les classes supérieures, en effet elle permet de faire beaucoup de calculs, et c'est elle qui montre si vous avez compris la notion de représentation graphique.
 
 
  Méthode : pour représenter graphiquement une fonction linéaire  
 
Dans un repère du plan d'origine O et d'unité de longueur 1 cm sur les deux axes, représenter graphiquement la fonction linéaire f : x - 2x
1) La représentation graphique de le fonction linéaire
f : x - 2x est la droite (d) d'équation y = - 2x
2) On place le point A dont les coordonnées sont A ( 1 ; -2 )
 
3) 0n trace la droite passant par les points O et A.
   
Le but de ce genre d'exercice va être de tracer plusieurs fonctions sur un même graphique pour pouvoir les comparer, il est donc important de bien noter l'équation de la fonction comme il est fait sur le dessin.
Il est parfois plus pratique de prendre un point A qui n'a pas pour abcsisse 1.
 
  Tout point de coordonnées ( x ; f(x) ) est sur la droite (d)
 
 
Il est essentiel de comprendre que la droite que l'on a tracé représente le lien qu'il y a entre les nombres de départs x et leur image f(x), d'ailleurs ont obtient l'un ou l'autre en traçant les pointillés que vous avez pour le point A.
  
     
     
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fonctions linéaires et pourcentages
(ne faire que les exercices de gauche)
Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec les fonctions linéaires.
 
Géométrie analytique
 
Depuis l'entrée au collège, on voit que géométrie et numérique sont étroitement liés dans de nombreux théorèmes, on va généraliser ce processus dans la géométrie analytique.
  
     
  I - Repère du plan et coordonnées d'un vecteur  
 

a) coordonnées d'un vecteur

  
 
Définiton :  
Soient deux points A(; ) et B (; ) d'u n plan muni
d'un repère ( O ; I ; J ).
Le vecteur a pour coordonnées (- ; - )
et on écrit : ( - ; - )

Un vecteur définit une translation (qui est un glissement), les coordonnées d'un vecteur explicite ce glissement : 2 carreaux vers la droite et 1 carreau vers le haut.
     
  Exemple :  
  Dans la figure ci-dessus on a : A ( 1,5 ; 0,5 ) et B ( 3,5 ; 2 )  
  donc : = ( 3,5 - 1,5 ; 2 - 0,5 )  
 

= (2 ; 1,5 )

  
     
 

b) égalité entre deux vecteurs

  
 
Propriété :  
Soient deux vecteurs u ( x ; y ) et v ( x' ; y' ) dans un
plan muni d'un repère ( O ; I ; J ).
- si = , alors on a x = x' et y = y'
- si x = x' et y = y', alors on a =
Il y aura trois formules dans ce chapitre, pour répondre aux questions le jour du brevet, il suffit de connaitre ces formules par coeur ...
   
  Exemple :
  Dans le figure ci-dessus, on a ( -2 ; 3 ) et ( -2 ; 3 ), donc les vecteurs et sont égaux.
   
 

c) coordonnées du milieu d'un segment
 
Propriété :  
Soient deux points A ( ; ) et B ( ; ) d'un plan
muni d'un repère (O , I , J ).
Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :
     
  II - Longueur dans un plan muni d'un repère orthonormé  
 
Définition :
Un repère ( O , I , J ) d'un plan est orthonormé lorsque :
- L'axe des abscisses (OI) et l'axe des ordonnées (OJ) sont perpendiculaires
- Les unités de mesure sur les deux axes sont égales à 1.
 
     
  Exemple :  
 
Dans la figure ci contre :
- (OI) et (OJ) sont perpendiculaires
- les unités des deux axes sont égales à 1
- le repère (O, I , J ) est orthonormé
 
   
Cette formule ne fonctionne QUE dans un repère orthonormé, alors attention aux pièges...
 
Propriété :
Dans un plan muni d'un repère, soient deux points A ( ; ) et B ( ; ) ;
Si le repère est orthonormé, alors la longueur du segment [AB] est donné par la formule :
AB = .
   
  Methode : pour déterminer une longueur  
 
Dans la figure ci-contre, le repère ( O , I , J ) est
orthonormé et OI = OJ = 1 cm.
Calculer la longueur exacte du segment [AB]
et en donner la valeur arrondie au mm près.
 
On sait que : A (3 ; 2) et B (8 ; 5) et que le repère
( O , I , J ) est orthonormé.
 1) on repère les coordonnées des points

donc : AB =

2) on applique la formule et on calcul

AB =

AB = 5,8 cm
 3) on conclut
Renoter la formule est tres important ici, le jour du brevet, il ya plus de points pour la formule que pour le résultat .
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec la géométrie analytique.
 
Fonctions affines
 
Après avoir vu les fonctions linéaires, on va maintenant voir les fonctions affines, toutefois les principes généraux restent les mêmes....
  
  I - fonctions affines  
 
Définitions :
- Soient a et b deux nombres fixés. On appelle fonction affine tout processus opératoire qui au nombre
x associe le nombre ax + b :

Une fonction affine nommée f se note :
f : x ax + b ( on lit : " la fonction f qui a x associe ax + b " )
- le nombre f (x) est appelé " l'image de x par la fonction f " et on a f (x) = ax + b
Comme dit juste au-dessus, les principes restent les mêmes, on a juste rajouté une opération au processus.
     
  Exemple :  
  La fonction affine f qui à x associe le nombre -3x + 4 se note : f : x -3x + 4  
  l'image de -1 par la fonction f est f (-1) = -3 x (-1) + 4 = 3 + 4 = 7  
     
  Remarques :  
  - lorsque b = 0, f (x) = ax, une fonction linéaire de coefficient a  
  - lorsque a = 0, f (x) = b, on dit que f est une fonction constante  
     
 
Propriété de la proportionnalité des accroissements
Soient a et b deux nombres fixés, et g une fonction affine telle que g (x) = ax + b.
La différence des images de g est proportionnelle à la différence des nombres associés.
Pour u et v, deux nombres différents, on a l'égalité :
Encore une formule à connaître par coeur...
     
  Méthode : pour déterminer une fonction affine  
 
Déterminer la fonction g telle que g (1) = 3 et g (4) = 9  
 
g est une fonction affine : g (x) = ax + b 1) on donne l'écriture de g (x)
on a par la propriété des accroissements : 2) on applique la propriété de la proportionnalité
= a
des accroissements
a =
3) on effectue le calcul afin de déterminer a
d'où g (x) = 2x + b  
or g (1) = 2 x 1 + b et g (1) = 3 4) on détermine b à l'aide de l'une des conditions initiales

2 + b = 3, donc b = 1
la foncton affine g est : x 2x + 1 5) on conclut

Il faut bien faire attention à l'ordre dans laquelle on écrit l'égalité, sinon on risque de faire des erreurs de signe...

Ensuite le principe reste le même que pour les fonctions linéaires : on utilise les données de l'énoncé
     
  II - représentation graphique d'une fonction affine  
 
Définitions et propriété :
Dans un repère du plan, la représentation graphique d'une fonction affine est le droite
d'équation y = ax + b.
Le nombre a s'appelle le coefficient directeur de la droite et le nombre b s'appelle
l'ordonnée à l'origine.
La représentation d'une fonction affine est donc une droite QUELCONQUE qui ne passe pas forcément par l'origine.
     
  Exemple :  
  La représentation graphique de la fonction affine f : x 2x + 1 est la droite d'équation y = 2x + 1  
  Son coefficient directeur est 2 et son ordonnée à l'origine est 1  
     
 
Propriété :
La droite représentant graphiquement le fonction affine f passe par les points de coordonnées ( x ; f (x) )
 
La droite d'équation y = ax + b passe par le point B ( 0 ; b )
 
     
  Méthode : pour tracer une droite d'équation ax + b  
 
Dans un repère du plan d'origine O, tracer la droite (d) d'équation y = 2 x + 1
1) pour x = 0 on a y = 1; donc la droite (d) passe par le point A (0 ; 1)
2) on calcule les coordonnées d'un autre point B en choisissant une valeur astucieuse de x, ici x = 1
donc y = 2 x 1 + 1 = 3
et B ( 1 ; 3 )
3) on trace la droite (d) passant par les deux points
La méthode reste donc la même que pour les fonctions linéaires : on trace la fonction en définissant des points de passage....
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec les fonction affines.
 
Géométrie dans l'espace
 
La géométrie dans l'espace au collège a pour but de vous faire découvrir les problèmes liés à la perspective à travers l'étude de différentes figures, en classe de troisième on développe les notions de parallélisme et d'intersection dans l'espace, toutefois aucun théorème de géométrie dans l'espace n'est demandé au brevet, et donc le plus important reste de développer votre "vision" de l'espace...
  
     
  I - Plan et droite de l'espace  
 
Définitions :
- Un plan est une surface plate illimitée telle que toute droite passant par deux points du plan est contenue
toute entière dans le plan.
- Si deux plans n'ont pas de point d'intersection (ou sont confondus), on dit qu'ils sont parallèles.
- Si une droite et un plan n'ont pas de point d'intersection ( ou si la droite est incluse dans le plan), on dit
que la droite et le plan sont parallèles.
 
     
  Exemple :  
 
ABCDEFGH est un pavé droit.
Le plan F contient la face supérieure ABCD
et le plan P contient la face inférieure EFGH.
Les plans F et P sont parallèles.
La droite (AC) est incluse dans le plan F et
elle est parallèle au plan P.
Refaire ces figures est le meilleur entrainement pour acquérir une meilleure vision de l'espace, pensez dans un premier temps à utiliser les carreaux
     
 
Propriété :
- Si un plan et une droite sont sécants, alors leur intersection est un point.
- Si deux plans sont sécants, alors leur intersection est une droite.
- Soient deux droites (a) et (b) d'un plan P, et sécantes au point O.
Si une droite (d) est perpendiculaire en O avec la droite (a) et la droite (b), alors la droite (d) est
perpendiculaire à toute droite du plan P et passant par le point O.
On dit que la droite (d) est orthogonale à toute droite incluse dans le plan P.
On dit aussi que la droite (d) est perpendiculaire au plan P.
 
     
  Exemple :  
 
La droite (d) est perpendiculaire en O aux
La droite (s) est l'intersection des plans A et B.
droites (a) et (b) du plan P : elle est
Les points I et J sont les intersections de la
perpendiculaire au plan P.
droite (d) avec les plans A et B.
 
     
  II - Section par un plan  
 
Propriété :
La section d'un pavé droit par un plan
parallèle à une face est un rectangle.
Propriété :
La section d'un pavé droit par un plan
parallèle à une arête est un rectangle.
Exemple :  
Le plan P est parallèle à la face EFGH du pavé
ABCDEFGH est un pavé droit et le plan P est
droit ABCDEFGH : la section IJKL est un
parallèle à la droite (EH) : la section RSTU est
rectangle de même dimensions que le
un rectangle et RU = EH.
rectangle EFGH.
  
   
Propriété :
La section d'un cylindre de révolution
par un plan perpendiculaire à l'axe est
un cercle
Propriété :
La section d'un cylindre de révolution
par un plan parallèle à l'axe est
un rectangle
Exemple :  
Le plan P est parallèle à la base du cylindre
Le plan P est parallèle à l'axe (OO') du
droit de rayon r : la section est le cercle de
cylindre droit : la section est un rectangle
centre I sur l'axe (OO') et de rayon r.
ABCD et BC = OO'

Toutes ces propriétés se démontrent facilement avec les définitions données précédemment.

Elles sont assez évidentes à retenir, elles servent surtout à justifier des calculs de volume.
     
 
Propriété :
Si deux plans sont parallèles et s'ils sont coupés par un
même troisième plan alors leurs intersections sont deux
droites parallèles.
 
Exemple :
Le plan P est sécant aux plans parallèles F et G respectivement en
(d) et (d') : les droites (d) et (d') sont parallèles.
 
     
  III - Section d'une pyramide ou d'un cône  
 

a) agrandissement et réduction :

  
 
Propriété :
Si on applique un agrandissement ou une réduction à l'échelle k ,alors :
- La longueur d'un segment - l'aire d'une surface est - le volume d'un solide est
est multipliée par k ; multipliée par k ; multiplié par k.

Voila la partie nécessaire le jour du brevet...
Ce genre d'exercice se décompose souvent en trois étapes :
- calculer un volume
- déterminer un coefficient de réduction
- calculer un nouveau volume
Pour la dernière partie, il suffit de prendre le premier volume et de le multiplier par le coefficient au cube.
   
  Exemple :
 
     
 

b) section d'une pyramide ou d'un cône :

  
 
Propriété :
La section d'une pyramide par un plan parallèle
à la base est une réduction de la base
 
Propriété :
La section d'un cône de révolution par un plan
parallèle à la base est une réduction de la base
     
Exemple :    
 
La section de la pyramide SABCDE par le plan P   La section du cône C par le plan P parallèle à la base B
parallèle à la base ABCDE est le pentagone   est le cercle de centre O' et de rayon r' qui est une
FGHIJ qui est une réduction de la base ABCDE.   réduction de la base B.
La pyramide SFGHIJ est une réduction de la pyramide   Le cône C' de sommet S et de base B' est une réduction
SABCDE.   du cône de sommet S et de base B.
     
Application : on donne SO = 10 cm et SO' = 5 cm
SO' = 0, 5 x SO   SO' = 0, 5 x SO
donc Aire de FGHIJ = 0,5 x Aire de ABCDE   donc Aire de B' = 0,5 x Aire de B
et Volume de SFGHIJ = 0,5 x Volume de SABCDE   et Volume de C' = 0,5 x Volume de C
Voilà le genre de figures que l'on trouve le jour du brevet souvent "habillé" de situation réelle, le principe est toutefois toujours le même, il suffit de connaître ses formules de volume et d'appliquer le principe suivant, puis de finir les calculs...
     
  IV - Sphère et boule  
 
Définitions :
- La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tel que OM = r.
- La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M tel que OM < r
C'est à dire que la sphère est vide et que la boule est pleine...
     
  Exemple :  
 
Dans la figure ci-contre :
- Le point T est le centre de la sphère et le centre du cercle C ;
- Les segments [AB], [NS] et [OE] sont des diamètres de la sphère ;
- Les segments [AB] et [OE] sont des diamètres du cercle C ;
- Le point I du rayon [TC] appartient à la boule de centre T ;
- L'extrémité C du rayon [TC] appartient à la boule et à la sphère de centre T .
 
     
 
Propriétés :  
- La surface A d'une sphère de rayon r - Le volume V d'une boule de rayon r
est donnée par la formule : est donné par la formule :
A = V =
Encore deux formules à connaître par coeur ...
     
 
Propriétés :
- La section d'une sphère par un plan est un cercle ;
- La section d'une boule par un plan est un disque .
 
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec la géométrie dans l'espace.
 
Systèmes d'équations à deux inconnues
 
Résoudre une équation sert d'abord à résoudre un problème. Les problèmes au fil de l'histoire s'étant complexifiés, il a fallu trouver de nouvelles méthodes pour répondre aux interrogations (venent souvent de nos amis physiciens....)
Donc après avoir vu les équations du premier degrès à une inconnue, nous allons voir les systèmes de deux équations à deux inconnues.
  
  I - Systèmes d'équations  
 
Définition :
- On appelle système de deux équations à deux inconnues " un ensemble " formé par deux équations
de la forme ax + by = c, où a, b et c sont des nombres fixés.
- Résoudre un système, c'est déterminer les couples (x ; y) qui vérifient en même temps les deux égalité.
Un tel couple est appelé la solution du système.
On parle d'un couple de solutions, car il faut trouver x et y.
     
  Exemple :  
 
- Le système 2x + 3y = 1 est un système de deux équations à deux inconnues.
4x - y = -5
Pour vérifier qu'un couple est solution, il faut vérifier les deux équations.
 
- Le couple (-1 ; 1) est la solution du système 2x + 3y = 1
4x - y = -5
 
En effet : 2 x (-1) + 3 x 1 = -2 + 3 = 1 et 4 x (-1) - 1 = -4 - 1 = -5.
     
 
Pour résoudre ces systèmes, on va maintenant voir deux méthodes, elles fonctionnent toutes les deux, la première va s'appliquer à des systèmes plus simples, tandis que la seconde permet d'appréhender ce qui va venir les années suivantes
  
  Méthode : résolution d'un système d'équation par substitution  
 
Résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant :
2x + y = 7 1
-3x + 2y = 7 2
1) on repère l'inconnue dont le coefficient est 1 (c'est à dire la lettre qui n'a pas de chiffre) et on l'isole
Dans l'équation 1 on a :
 y = 7 - 2x  
2) on remplace cette inconnue dans la seconde équation, dans l'aquelle il ne reste plus alors qu'une inconnue, il ne reste plus alors qu'a la résoudre...
Dans l'équation 2, on a alors :
-3x + 2 (7 - 2x) = 7  
      - 3x + 14 - 4x = 7    
     
-7x + 14 = 7
    
     
-7x = 7 - 14
    
     
-7x = -7
    
     
x = 1
    
3) on remplace l'inconnue déterminer dans la première équation pour déterminer l'inconnue restante
      y = 7 - 2x    
      y = 7 - 2 x 1    
      y = 5    
4) on conclut sans se tromper de sens : d'abord x puis y  
le couple (1 ; 5) est solution du système d'équation

 

Il est important de numéroter vos équations de départ pour, déjà vous permettre de vous repérer, et surtout pour permettre au correcteur de suivre votre cheminement.

Cette méthode ne sera simple que lorsqu'un des coefficients sera égale à 1, donc les autres cas il vous faudra soit maitriser parfaitement le calcul des fractions, soit choisir la seconde méthode...
     
  Méthode : résolution d'un système par l'algorithme de Gauss  
 
Résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant :
3x + 4y = 14 1
-2x + 3y = 19 2
1) le but est que dans les deux équations, une inconnue ait le même coefficient, pour cela, on peut multiplier toute l'équation par un nombre :
1 x 2 6x + 8y = 28  
2 x 3 -6x + 9y = 57  
     
   
2) on ajoute (ou on soustrait) les deux équationset on obtient une équation à 1 inconnue que l'on sait résoudre 0x + 17y = 85    
     
           
3) on résoud la nouvelle équation puis on remplace dans l'une des deux premières
  17y = 85   3x + 4 x 5 = 14    
  y = 5   3x = 14 - 20    
      x = -2    
4) on conclut : le couple (-2 ; 5) est solution de cette équation
 
     
  II - Résolution graphique  
 
Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, on peut utiliser un graphique.
  
  Exemple :  
 
Résoudre graphiquement le système :
 - x + y = -1  
2x + y = 5  
       
1) on exprime y en fonction de x dans les deux équations :
  -x + y = -1
; d'où
 y = x - 1
  2x + y = 5
; d'où
 y = -2x + 5
       
2) dans un repère du plan, on trace les droites :
(d1) d'équation : y = x - 1
(d2) d'équation : y = -2x + 5
       
3) on recherche les coordonnées du point M, point d'intersection des droites (d1) et (d2).
On lit sur le graphique : M(2 ; 1)
       
4) on conclut : le couple (2 ; 1) est le couple solution de ce système
Ce genre de question se trouve souvent en dernière partie du problème du brevet..
     
  III - mise en système d'équation d'un problème  
 

Pour résoudre un problème, on peut être amené à former un système de deux équations à deux inconnues et à le résoudre, Le principe n'est pas différent de la mise en équation d'un problème à 1 inconnue....

  
  Exemple :  
 
Lors de l'achat de ses fournitures, Maxime a acheté un classeur et deux paquets de feuilles. Il a payé 5
euros. Dans le même magasin, Julia a acheté deux classeurs et trois paquets de feuilles.
Elle a payé 8,50 euros.
Déterminer le prix d'un classeur et le prox d'un paquet de feuilles.
   
Soit x le prix du classeur et y le prix d'un paquet de feuilles. 1) Choix des inconnues ( il suffit de lire la question)
   
2) Mise en équations :  
1 classeur et 2 paquets pour 5 euros : x + 2y = 5
2 classeurs et 3 paquets pour 8,50 euros : 2x + 3y = 8,5
   
3) Résolution du système :  
x + 2y = 5 1
2x + 3y = 8,50 2
L'équation 1 donne : x = 5 - 2y
Dans l'équation 2, ça donne : 2 ( 5 - 2y ) + 3y = 8,50

10 - 4y + 3y = 8,50

-y = -1,50

y = 1,50
on a alors x = 5 - 2y
  
x = 5 - 2 x 1,50
  
x = 2
  
Le couple (2 ; 1,50) est solution de ce système.
   
4) On conclut :  
Le prix d'un classeur est de 2 euros et le prix d'un paquet de feuilles est de 1,50 euros.
Ce genre d'exercice est souvent décomposé en deux le jour du brevet, en première partie, on vous demande de résoudre un système et ensuite on vous pose un problème dont le système est exactement le même que le précédent, vous avez donc déjà les réponses...
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec les systèmes d'équations..
 
Statistiques
  Ce chapitre est souvent considérer comme le plus simple de l'année et c'est le cas....
Il n'y a absolument rien dans ce chapitre, à vous de revoir les calculs de moyenne et de moyenne pondérée.
  
     
  I - Médiane d'une série statistique  
 
Définition :
La médiane d'une série statistique ordonnée est une valeur qui partage la série en deux groupes
de même effectif tels que :
- les valeurs du premier groupe sont inférieures ou égales à la médiane ;
- les valeurs du premier groupe sont supérieures ou égales à la médiane.
La médiane sépare une série en deux si cette série n'est pas ordonnée (écrite dans l'ordre), la médiane ne veut plus rien dire, donc ordonnez vos série !
   
  Exemple 1 : ( effectif impair )
  On relève les notes de 9 élèves : 2 ; 6 ; 8 ; 8 ; 11 ; 12 ; 13 ; 15 ; 15  
 
1er groupe : où les valeurs sont
2nd groupe : où les valeurs sont
inférieures ou égales à la médiane
supérieures ou égales à la médiane
 
 

La médiane de la série est 11

  
     
  Exemple 2 : ( effectif pair )  
  On note le temps mis par des élèves pour venir au collège : 3 ; 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 8 ; 13 ; 15  
 
1er groupe : où les valeurs sont
2nd groupe : où les valeurs sont
inférieures ou égales à la médiane
supérieures ou égales à la médiane
 
 

La médiane de la série

 
  Ici, on peut prendre comme médiane de la série un nombre compris entre 7 et 8, par exemple 7,5.  
     
  Remarque : la médiane n'est pas la moyenne, ainsi dans cette exemple la moyenne est de 7,75 (à vous de faire les calculs)  
     
  II - Etendue d'une série statistique  
 
Définition :
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite
valeur de la série.
 
     
  Exemple :  
  On considère la série statistique : 8 ; 11 ; 11 ; 13 ; 15 ; 16 ; 16 ; 19  
  L'étendue de cette dérie statistique est 19 - 8 = 11.  
     
     
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Vous trouverez ici des liens vers des exercices du brevet en relation avec les statistiques.
et voilà c'est fini pour le programme de troisième..... vivement la seconde......