Définition :

Le signe " = " associe deux écriture différentes d'un même nombre

Théorème :

Si dans un calcul il y a des parenthèses,
Alors il faut d'abord effectuer les opérations entre parenthèses.

Théorème :

Si dans un calcul il y a plusieurs parenthèses (ou crochets) les unes dans les autres,
Alors il faut d'abord effectuer les calculs dans les parenthèses les plus à l'intérieur.

Théorème :

Si dans un calcul (ou un sous-calcul), il y a plusieurs opérations
Alors il faut effectuer toutes les multiplications et toutes les divisions avant les additions et les soustractions.

Théorème :

Si, dans un calcul sans parenthèses, il n'y a que des multiplications et des divisions
Alors il faut effectuer les opérations dans le sens de lecture (de gauche à droite)

Théorème :

Si, dans un calcul sans parenthèses, il n'y a ques des additions et des soustractions
Alors il faut effectuer les opérations dans le sens de lecture

Définition :

Une expression contenant plusieurs opérations est appelée :

une somme si la dernière opération à effectuer est une addition

une différence si la dernière opération à effectuer est une soustraction

un produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication

un quotient si la dernière opération à effectuer est une division

Règle :

Lorsqu'une expression contient un quotient, il faut toujours l'imaginer avec des parenthèses autour du numérateur et autour du dénominateur

Définition :

Trois points non alignés forment un triangle.

Théorème : Inégalité triangulaire

Si une figure est un triangle,
Alors la longueur de chaque côté est plus petite que la somme des deux autres côtés.

Théorème :

Si trois points A, B et C sont tels que AB + BC = AC
Alors le point A appartient au segment [BC]

Propriété :

Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point. On dit qu'elles sont concourantes

Définition et propriété :

Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des trois médiatrices.

Définition :

Les bissectrices des trois angles d'un triangle se coupent en un même point. Elles sont concourantes

- (d') est la bissectrice de l'angle VPU

- (d") est la bissectrice de l'angle VUP

Définition :

On dit que deux figures sont symétriques par rapport à un point si elle se superposent après un demi-tour autour de ce point.
On appelle ce point le centre de symétrie.

Définition :

Dans une symétrie centrale, deux point sont symétriques si le centre de symétrie est le milieu de ces deux points.

Vocabulaire :

on dit que :
- Le dessin A est le symétrique du dessin B par la symétrie centrale de centre S ;
- Le dessin B est l'image du dessin A par cette symétrie centrale ;
- Les dessins A et B sont deux dessins symétriques par rapport à S ;
- Les points M et N sont deux points symétriques par rapport à S.

Définition :

Un point est le centre de symétrie d'un dessin si, par symétrie centrale autour de ce point, ce dessin et son symétrique sont confondus.

Les lettres Z et N ont un centre de symétrie, c'est le milieu de la barre oblique .
La lettre T n'a pas de centre de symétrie, mais elle a un axe de symétrie .

Théorème :

La symétrie conserve les longueurs, les angles, l'alignement et les aires.

Théorème :

Si deux droites sont symétriques par rapport à un point
Alors elles sont parallèles.

Définition :

Dire que deux grandeurs sont proportionnelles signifie que l'on peut calculer l'une à partirde l'autre en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre.
Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Définition :

Dire qu'un tableau à deux lignes est un tableau de proportionnalité signifie que les valeurs de l'une des lignes s'obtiennent en multipliant toujours par le même nombre les valeurs correspondantes de l'autre ligne.
Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité.

Définition :

Si un quadrilatère est un parallélogramme
Alors ses côtés opposés sont parallèles.

Théorème :

Si un quadrilatère est un parallèlogramme
Alors ses côtés opposés sont parallèles

Théorème :

Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu
Alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Théorème :

Si un quadrilatère est un parallélogramme
Alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Vocabulaire :

On dit que les deux théorèmes précédents sont réciproques, car les conditions d'utilisation de l'un sont la conclusion de l'autre.

Théorème :

Si un quadrilatère est un parallélogramme
Alors ses côtés oppposés sont de même longueur.

Théorème :

Si un quadrilatère a ses côtés oppposés qui ont de même longueur
Alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Théorème :

Si un quadrilatère est un parallélogramme
Alors ses angles opposés ont la même mesure.

Théorème :

Si un quadrilatère a ses angles opposés ont la même mesure
Alors ce quadrilatère 'est un parallélogramme.

Définition :

Un nombre relatif est formé d'un signe + ou - et d'un nombre appelé distance à zéro.

• (+5) est un nombre relatif :
  - son signe est +
  - sa distance à zéro est 5

• (-3) est un nombre relatif :
  - son signe est -
  - sa distance à zéro est 3
  

• 0 ; +2 ; + 7,65 ; +;
  sont des nombres relatifs positifs

• 0 ; -3 ; -6,3 ; -
  sont des nombres relatifs négatifs

Définition :

Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif.
On dit que ce nombre est l'abscisse de ce point.

Définition :

Un repère du plan est composé de deux droites graduées de même origine.
L'une est appelée axe des abscisses et l'autre axe des ordonnées.
Un repère du plan est dit orthogonal si ces deux droites sont perpendiculaires.

Propriété :

• De deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
• De nombres de signes contraires, le plus grand est le nombre positif.
• De deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.

Théorème :

Si deux nombres relatifs sont de même signe
Alors leur somme a aussi le même signe et a pour distance à zéro la somme des distances à zéro des deux nombres.

• (+5) + ( +2) = (+7)

• (-6 ) + (-3 ) = (-9)

Théorème :

Si deux nombres relatifs sont signes contraires
Alors leur somme a le signe du nombre qui a la plus distance à zéro
et a pour distance à zéro la différence des deux distances à zéro.

Théorème :

Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

Règle :

Dans une suite d'additions de nombres relatifs, on peut :
- supprimer les signes d'additon et les parenthèses autour des nombres ;
- supprimer le signe "+" devant un nombre s'il se trouve en début de ligne .

Définition :

Une hauteur d'un triangle est une droite qui est perpendiculaire à un côté et qui passe par le sommet opposé à ce côté.
On dit aussi qu'une hauteur est relative à un côté ou qu'une hauteur est issue d'un sommet.

Définition :

Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui passe par le milieu du côté opposé à ce sommet .
On dit aussi qu'une médiane est issue d'un sommet ou qu'une médiane est relative à un côté.

Théorème :

Si un triangle est isocèle
Alors la médiane, la hauteur, la bissectrice issue du sommet principale et la médiatrice de la base sont des droites confondues.

• (DP) est la hauteur issue de P du triangle JPB isocèle en P
• Si un triangle est isocèle
  Alors la médiane, la hauteur issue du sommet principale sont des droites confondues
• donc (DP) est la médiane issue de P du triangle JPB et D milieu de [JB]
  

Théorème :

Si un triangle est équilatéral
Alors la médiane, la hauteur, la bissectrice issue d'un même sommet et la médiatrice du côtés opposé à ce sommet sont des droites confondues.

Convention :

On peut supprimer le signe x entre deux lettres, entre un nombre et une lettre ou encore devant une parenthèse.

• "a x b" peut s'écrire "ab"

• "3 x x" peut s'écrire "3x"

• "5 x (2 + x)" peut s'écrire "5(2 + x)"

• "c x (x + 4)" peut s'écrire "c(x + 4)"

Propriétés :

• Multiplier un nombre par 1 ne change pas la valeur de ce nombre :
  "1 x x" peut s'écrire "x"
• On peut changer l'ordre des facteurs dans un produit sans en changer le résultat, donc :
  "ba" peut s'écrire "ab"
• Multiplier un nombre par 0 donne toujours le résultats 0 :
  "0 x x" peut s'écrire 0

Propriété :

Pour tous les nombres k, a et b, on a les formules suivantes :

k x (a + b) = k x a + k x b

k x (a - b) = k x a - k x b

Vocabulaire :

Factoriser une somme ou une différence, c'est donner une autre écriture de cette somme ou cette différence sous la forme d'un produit plus utile pour résoudre un problème.
Pour factoriser en 5ème, on utilise les égaliltés suivantes :

k x a + k x b = k x (a + b)

et k x a - k x b = k x (a - b)

Vocabulaire :

Développer un produit, c'est donner une autre écriture de ce produit sous la forme d'une somme ou d'une différence plus utile pour résoudre un problème.
Pour développer en 5ème, on utilise les égaliltés suivantes :

k x (a + b) = k x a + k x b

et k x (a - b) = k x a - k x b

Définition :

• Dire que deux angles sont complémentaires signifie due leur somme est égale à 90°.
• Dire que deux angles sont supplémentaires signifie que leur somme est égale à 180°.

• ils ont le même sommet B ;
• ils ont un côté commun [Bv) ;
• ils ont de part et d'autre de ce côté commun.

Définition :

Dire que deux angles sont opposés par le sommet signifie que ces deux angles sont symétriques par rapport à leur sommet.

Théorème :

Si deux angles sont opposés par le sommet
Alors ils sont égaux

Définition :

Soit deux droites (d) et (d') coupées par sécante.
Dire que deux angles sont alternes internes signifie que :
• ils n'ont pas le même sommet ;
• ils sont de part et d'autre de la sécante ;
• ils sont à l'intérieur de la bande délimitée par les droites (d) et (d')

Théorème :

La somme (ou la différence) de deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur est un nombre en écriture fractionnaire :
- son dénominateur est le même que celui des deux nombres.
- son numérateur est égal à la somme (ou à la différence) des numérateurs des deux nombres.

Théorème :

Le produit de deux nombres en écriture fractionnaire est un nombre en écriture fractionnaire :
- son dénominateur est égal au produit des dénominateurs des deux nombres..
- son numérateur est égal au produit des numérateurs des deux nombres.

Théorème :

Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaire
Alors c'est un rectangle

Théorème :

Si un parallélogramme a ses diagonales qui ont la même longueur
Alors c'est un rectangle

Théorème :

Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux
Alors c'est un losange

Théorème :

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires
Alors c'est un losange

Théorème :

Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur
Alors c'est un carré

Définition :

• Dire qu'une reproduction d'un objet est une représentation "à l'échelle" de cet objet signifie qu'il y a proportionnalité entre les longueurs de l'objetet celles de la reproduction.
• On appelle "échelle" le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des longueurs de l'objet aux longueurs de la reproduction, exprimées dans la même unité.

Définitions :

Dire qu'un mouvement est uniforme signifie qu'il y a proportionnalité entre la durée du trajet et la vitesse parcourue.
Dans un mouvement uniforme la vitesse est constante et cette vitesse est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la duréee à la distance.

Propriété :

L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit d'un de ses côtés
par la hauteur relative à se côté.

Définition :

Pour un caractère donné, on appelle effectif d'une valeur le nombre de fois où cette valeur apparaît.
Le nombre d'individus de la population étudiée est appelé l'effectif total.

Définition :

Pour un caractère donné, on appelle fréquence d'une valeur quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif totale.
c'est donc la proportion de cette valeur par rapport à l'effectif totall.

Définition :

Un prisme droit est le solide qui possède :
- deux bases parallèles et superposables qui sont toujours des polygones (triangle, quadrilatère, pentagone ......)
- des faces latérales perpendiculaires aux bases qui sont toujours des rectangles.